Analyse et traitement des signaux aléatoire

Introduction

Ce cours est destiné aux étudiants du Master 1 ESTEL. Ce cours constitue un prérequis du cours Transmission sur fréquence porteuse. CIlintroduit la modélisation des signaux aléatoires, des rappels de probabilités jusqu’à la stationnarité, l’analyse spectrale et le filtrage, et l’illustre par des exemples classiques comme le bruit blanc, les processus autorégressifs et le processus de Poisson.

Prérequis

Le prérequis de ce cours est le cours de L3 Traitement numérique du signal et phénomènes aléatoires.

Programme

1. Introduction : exemples de signaux aléatoires
   • Générateur sinusoïdal à phase initiale aléatoire
   • Signal mesuré en présence de bruit
   • Émetteur de symboles binaires
2. Rappels de probabilités
   • Espace de probabilité, événements, probabilité conditionnelle, indépendance
   • Variable aléatoire : fonction de répartition, densité de probabilité, cas discret et continu
   • Moyenne, variance, écart type
   • Loi gaussienne
   • Couples de variables aléatoires : loi conjointe, lois marginales et conditionnelles, indépendance
   • Covariance, coefficient de corrélation, décorrélation et indépendance
   • Cas de N variables aléatoires : vecteur moyenne, matrice de covariance
   • Vecteurs gaussiens : marginales, décorrélation et indépendance, transformation affine
3. Signaux aléatoires
   • Définition d’un signal aléatoire
   • Stationnarité au sens strict et au sens large
   • Moments d’ordre 1 et 2 : moyenne, autocorrélation, autocovariance
   • Exemple : sinusoïde à phase aléatoire, puissance
   • Matrice de covariance, propriétés (symétrique, définie positive)
   • Intercorrélation et intercovariance de deux signaux
   • Bruit i.i.d. et bruit blanc
   • Exemples de signaux stationnaires et non stationnaires
   • Matrice de covariance de Toeplitz
   • Sortie d’un filtre RIF excité par un bruit blanc
4. Analyse spectrale des signaux aléatoires
   • Rappel : densité spectrale d’énergie d’un signal déterministe, Parseval
   • Densité spectrale de puissance d’un signal stationnaire
   • Théorème de Wiener-Khintchine, en temps discret et en temps continu
   • Exemple : densité spectrale d’un bruit i.i.d.
   • Exercices : processus à moyenne mobile, marche aléatoire, processus autorégressif d’ordre 1
   • Bruit blanc en temps continu
5. Filtrage des signaux aléatoires
   • Rappels sur le filtrage linéaire invariant, cas déterministe
   • Moyenne et autocorrélation de la sortie d’un filtre
   • Intercorrélation entrée-sortie
   • Théorème des interférences
6. Processus de Poisson et signal télégraphique
   • Rappels sur la loi de Poisson
   • Processus de Poisson : définition, moyenne, variance, autocorrélation
   • Signal du télégraphiste : non-stationnarité, version stationnaire, autocorrélation, densité spectrale