Random signals

Ce cours est destiné aux étudiants du Master 1 ESTEL.

Programme

1. Introduction : exemples de signaux aléatoires
   • Générateur sinusoïdal à phase initiale aléatoire
   • Signal mesuré en présence de bruit
   • Émetteur de symboles binaires
2. Rappels de probabilités
   • Espace de probabilité, événements, probabilité conditionnelle, indépendance
   • Variable aléatoire : fonction de répartition, densité de probabilité, cas discret et continu
   • Moyenne, variance, écart type
   • Loi gaussienne
   • Couples de variables aléatoires : loi conjointe, lois marginales et conditionnelles, indépendance
   • Covariance, coefficient de corrélation, décorrélation et indépendance
   • Cas de N variables aléatoires : vecteur moyenne, matrice de covariance
   • Vecteurs gaussiens : marginales, décorrélation et indépendance, transformation affine
3. Signaux aléatoires
   • Définition d’un signal aléatoire
   • Stationnarité au sens strict et au sens large
   • Moments d’ordre 1 et 2 : moyenne, autocorrélation, autocovariance
   • Exemple : sinusoïde à phase aléatoire, puissance
   • Matrice de covariance, propriétés (symétrique, définie positive)
   • Intercorrélation et intercovariance de deux signaux
   • Bruit i.i.d. et bruit blanc
   • Exemples de signaux stationnaires et non stationnaires
   • Matrice de covariance de Toeplitz
   • Sortie d’un filtre RIF excité par un bruit blanc
4. Analyse spectrale des signaux aléatoires
   • Rappel : densité spectrale d’énergie d’un signal déterministe, Parseval
   • Densité spectrale de puissance d’un signal stationnaire
   • Théorème de Wiener-Khintchine, en temps discret et en temps continu
   • Exemple : densité spectrale d’un bruit i.i.d.
   • Exercices : processus à moyenne mobile, marche aléatoire, processus autorégressif d’ordre 1
   • Bruit blanc en temps continu
5. Filtrage des signaux aléatoires
   • Rappels sur le filtrage linéaire invariant, cas déterministe
   • Moyenne et autocorrélation de la sortie d’un filtre
   • Intercorrélation entrée-sortie
   • Théorème des interférences
6. Processus de Poisson et signal télégraphique
   • Rappels sur la loi de Poisson
   • Processus de Poisson : définition, moyenne, variance, autocorrélation
   • Signal du télégraphiste : non-stationnarité, version stationnaire, autocorrélation, densité spectrale