Problèmes inverses

Introduction

Ce cours est destiné aux étudiants du Master 2 ESTEL. Il présente une approche unifiée de la résolution des problèmes inverses en imagerie en s’appuyant sur des rappels de traitement du signal et des images et sur une introduction à l’optimisation convexe.

Prérequis

Les prérequis de ce cours sont :

• le cours de M1 Analyse et traitement des signaux aléatoire.
• le cours de L3 Traitement numérique du signal et phénomènes aléatoires.

Programme

1. Introduction aux problèmes inverses
   • Exemples : tomographie (rayons X), imagerie RADAR, imagerie optique
   • Modèle direct : cas général
   • Modèle direct linéaire, cas spatialement invariant
2. Rappels de traitement numérique du signal et des images
   • Systèmes linéaires et invariants, réponse impulsionnelle, convolution
   • Transformée de Fourier, transformée de Fourier discrète (TFD)
   • Convolution circulaire
   • Transformée de Fourier rapide (FFT)
   • Extension aux images : linéarité, invariance spatiale, stabilité
   • Convolution et transformée de Fourier des images
   • Égalisation d’histogramme
3. Résolution d’un problème inverse : formalisation
   • Définition et propriétés d’un problème linéaire
   • Résolution « naïve » par filtrage inverse et amplification du bruit
   • Inversion par moindres carrés : cas général et cas d’une convolution
   • Régularisation : introduction d’un a priori
   • Exemples d’a priori en 1D et en 2D, régularisation de Tikhonov
4. Introduction à l’optimisation convexe
   • Formulation d’un problème d’optimisation, programmation linéaire
   • Ensembles et fonctions convexes, fonctions quadratiques
   • Problème d’optimisation convexe et caractérisation de la solution
   • Algorithmes de descente
   • Choix du pas : pas exact, dichotomie, backtracking d’Armijo
   • Descente de gradient et vitesse de convergence
   • Descente de Newton, algorithmes quasi-Newton, vitesse de convergence
   • Dualité et conditions de Karush-Kuhn-Tucker
   • Gradient projeté
   • Optimisation sous contraintes d’égalité et d’inégalité
   • Barrière logarithmique et algorithme du point intérieur
5. Résolution d’un problème inverse : modèle direct convolutif
   • Calcul de l’erreur de reconstruction
   • Choix du paramètre de régularisation
   • Déconvolution par filtrage inverse
   • Calcul du gradient et de l’opérateur adjoint (convolution linéaire et circulaire)
   • Exemples de régularisations : Tikhonov, lissage, Tikhonov généralisé, positivité, préservation des bords
   • Régularisation quadratique et calcul de la solution en fréquence

Travaux pratiques

Une large part du cours est consacrée à des projets pratiques, au cours desquels les étudiants implémenteront différents algorithmes et confronteront les résultats théoriques aux résultats de simulation. Les calculs seront réalisés de préférence en Julia ou en Python.

• TP 1 : bases du traitement d’image (format, codage, colormap, échantillonnage spatial, fréquences spatiales, convolution, détection de contours)
• TP 2 : convolution linéaire et convolution circulaire d’images
• TP 3 : descente de gradient (pas fixe, pas optimal, backtracking) et descente de Newton
• TP 4 : filtre de Wiener, inversion par minimisation d’une fonction de coût, réglage du paramètre de régularisation, contrainte de positivité

Évaluation

• Contrôles courts (4) : 40 %
• Examen final : 30 %
• Projet : 30 %